Areas de figuras planas

No estudo da matematica calculamos áreas de figuras planas e para cada figura a uma fórmula para calcular a sua área.

As figuras mais conhecidas são:

Quadrado;
Retângulo;
Triângulo;
Paralelogramo;
Trapézio;
Losango;
Circunferência;


1.Área da coroa do circulo.

Quando duas ou mais circunferências possuem o mesmo centro, são denominadas concêntricas. Nesse caso elas podem ter raio de tamanhos diferentes. Observe:

Ao unirmos duas circunferências de mesmo centro com raios R e r, considerando R > r, temos que a diferença entre as áreas é denominada coroa circular. Observe:

A área da coroa circular representada pode ser calculada através da diferença entre as áreas totais das duas circunferências, isto é, área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Área da coroa = Área do círculo maior – Área do círculo menor

Área da coroa = (π * R²) – (π * r²)

Área da coroa = π * (R² – r²)

Observação: Os resultados podem ser dados em função de π, caso seja necessário substitua π por seu valor aproximado, 3,14.

Exemplo 1

Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros.

A = π * (R² – r²)
A = π * (10² – 8²)
A = π * (100 – 64)
A = π * 36
A = 36π m²
ou
A = 36 * 3,14
A = 113,04 m²


Exemplo 2

Um cavalo está amarrado em uma árvore através de uma corda de 20 metros de comprimento. A área total da pastagem possui raio de 50 metros de comprimento. Considerando a área de pastagem máxima do cavalo, determine a área não utilizada na alimentação do cavalo.

A = π * (50² – 20²)
A = π * (2500 – 400)
A = π * (2100)
A = π * 2100
A = 2100π m²
ou
A = 2100 * 3,14
A = 6594 cm²

2.Área do circulo.
Para compreendermos a fórmula utilizada no cálculo da área de um círculo temos que imaginar uma circunferência:



E dentro dela circunscrito um polígono regular:



Os seguimentos de reta que partem do centro da circunferência e que vão até o vértice do polígono regular são os raios do círculo. Assim, formando n triângulos no polígono regular, com base no cálculo da área de um hexágono regular, podemos dizer que a área de um polígono regular de n lados seria:


A = n . a . h
2

Sendo n . a o valor do perímetro do polígono regular

A = (perímetro do polígono regular) . h
2

Agora imagine se aumentarmos o número de lados do polígono regular, a tendência é do seu perímetro ficar cada vez mais parecido com o comprimento da circunferência, e a altura de cada triângulo formado no polígono regular ficar igual ao raio do círculo. Assim, podemos concluir que a fórmula do cálculo da área de um círculo poderá ser indicada da mesma forma que a área de um polígono regular de n lados, veja a relação abaixo:

A = (comprimento da circunferência) . raio
2

A = 2πr . r
2

A = π r<sup>2
3. Área do seguimento circular.</sup>
Circunferência é o conjunto de pontos de um plano qualquer que estão na mesma distância do centro. E círculo é a superfície de uma circunferência.




Se unirmos dois pontos de uma circunferência iremos formar uma corda.


A corda irá dividir o círculo em duas partes (iguais ou não) que são chamadas de segmentos circulares. Esses irão representar uma parte da superfície de um círculo, assim possuindo uma área. O cálculo dessa área irá depender do tamanho do segmento, pois poderá ser maior, menor ou igual a um semicírculo (metade de um círculo).

• Quando o segmento for igual a um semicírculo.
Nesse caso a corda passou pelo centro da circunferência, coincidindo com o diâmetro.

Como a corda AB dividiu o círculo ao meio, o cálculo da área do segmento formado por essa divisão será a metade da área total de um círculo.

A_segmento = π . r²
2

• Quando o segmento é menor que um semicírculo.
Nesse caso temos que levar em consideração a área do setor circular.

A_segmento = A_{setor OBA} – A_{triânguloAOB}

• Quando o segmento é maior que um semicírculo.
Nesse caso também levaremos em consideração a área do setor circular.



A_segmento = A_{setor OAPB} + A_{triângulo AOB}

4.Área do Triângulo equilátero

A área de um triângulo pode ser determinada através da aplicação da seguinte fórmula:

Para aplicá-la é preciso ter o valor da base e da altura de um triângulo, sendo assim, uma fórmula de fácil utilização quando o triângulo for retângulo. No triângulo equilátero ficaria mais trabalhoso o cálculo da sua área utilizando essa fórmula.

Podemos substituir alguns elementos do triângulo equilátero nessa fórmula e encontrarmos outra, que facilitaria calcular a área de um triângulo equilátero. Veja a demonstração da fórmula:

A principal característica de um triângulo equilátero é que possui todos os lados iguais. Portanto, se traçarmos a sua altura, que é o segmento de reta perpendicular que parte do ponto A ao ponto M (ponto médio do segmento BC), iremos dividir a base ao meio.

Na figura acima temos um triângulo equilátero ABC de altura h e lados iguais. Ao traçarmos a sua altura, o dividimos em dois triângulos retângulos idênticos, assim, se aplicamos o Teorema de Pitágoras em um dos triângulos iremos obter um valor para a altura (h):

Sabendo o valor da altura de um triângulo equilátero e que a sua base vale l, e substituindo esses dados na fórmula, encontraremos a fórmula da área de um triângulo equilátero.

Concluímos que o cálculo da área de um triângulo equilátero utilizando a fórmula é determinado através do valor da medida do lado, não precisando da medida da altura.

5.Circunfência inscrita no quadrado.

O cálculo de áreas na geometria está presente em diversas situações cotidianas. As unidades mais utilizadas na especificação de áreas são o metro quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²) e o centímetro quadrado (cm²). Determinar a área de uma figura significa medir o tamanho de sua superfície, utilizando as medidas de suas dimensões: comprimento e largura.

Na geometria, cada figura regular está associada a uma expressão matemática capaz de determinar a medida de sua superfície. Mas em alguns casos, a determinação da área deve ser calculada utilizando duas ou mais expressões. Esse tipo de cálculo exige uma interpretação espacial da figura, diagnosticando o tipo de expressão que será usado no cálculo da área.

Exemplo 1
Determine a área destacada da figura, considerando que o raio da circunferência inscrita no quadrado seja igual a 4 metros.

Resolução

Área do quadrado é dada pela expressão: A = l²
Área da circunferência é dada pela expressão: A = π*r²

O raio da circunferência é igual a 4 metros, dessa forma seu diâmetro vale 8. A medida do lado do quadrado será correspondente ao diâmetro da circunferência, medindo 8 metros.

Área do quadrado
A = l²
A = 8²
A = 64 m²

Área da circunferência
A = π*r²
A = 3,14 * 4²
A = 3,14 * 16
A = 50,24 m²

A área da parte destacada é resultante da subtração entre a área do quadrado e a área da circunferência.
A = 64 – 50,24
A = 13,76 m²

Portanto, a área destacada é igual a 13,76 metros quadrados.


Exemplo 2

A figura a seguir representa uma peça de cerâmica para revestimento de pisos. Sabemos que a medida do raio de cada circunferência é igual a 2 cm. Determine a área em negrito, após o revestimento de uma sala retangular de dimensões 8m x 12m.

Área em negrito da cerâmica

Sabemos que o raio de cada circunferência mede 10 cm, portanto o diâmetro de cada circunferência medirá 4 cm. Existe uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro da circunferência, observe ilustração:

Para determinarmos a área em negrito da cerâmica devemos calcular a área do quadrado e subtrair das áreas das circunferências.

Área do quadrado (cerâmica)
A = l²
A = 40²
A = 1600 cm²

Área das circunferências
A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 cm²

314 * 4 = 1256 cm²

Área em negrito da cerâmica:

A = 1600 – 1256
A = 344 cm²


Precisamos calcular a área da sala revestida pela cerâmica, veja:

Área da sala = 12 x 8 = 96 m²


Cada cerâmica possui 1600 cm² de área, precisamos saber quantas peças serão gastas no piso da sala. Para isso precisamos dividir a área da sala pela área da cerâmica. Antes da divisão precisamos igualar as unidades de área, 1600 cm² é igual a 0,16 m². Portanto,
96 : 0,16 ~ 600 peças.

Agora basta multiplicarmos a área em negrito da cerâmica pelo número de peças que serão gastas no revestimento da sala.

600 * 344 = 206 400 cm² ou 20,64 m²

Portanto, após revestida a sala, a área em negrito corresponderá a 20,64 m²

6.Área de triângulo pela geometria analitica.

Na geometria plana encontramos a área de um triângulo fazendo uma relação com o valor de suas dimensões, e na trigonometria, com o valor do seno de um ângulo interno relacionado com os lados do triângulo é possível também encontrar a sua área.

A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da área de um triângulo, nesse caso é necessário que saibamos as coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possa ser representado em um plano cartesiano.

Considere o triângulo de vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C), veja a sua representação em um plano cartesiano:



A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por dois.

A = D
2

Onde D = .

Exemplos: A área de um triângulo é 25/2 e seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). Nesse caso qual será o possível valor de k?

Sabemos que a área A = D, portanto é preciso que encontremos o valor de D.
2

D =
D = -7 + 2k + 28 -2
D = 2k + 19

Substituindo a fórmula teremos:

A = D
2

25= 2k + 19
2 2

25 = 2k + 19
25 – 19 = 2k
6 = 2k
6:3 = k
k = 3

7.Área do hexágano regular.

Hexágono é uma figura plana que possui 6 lados, sendo regular esses lados deverão ser todos iguais (mesma medida), portanto, hexágono regular é uma figura plana que possui 6 lados com a mesma medida.

O hexágono regular circunscrito numa circunferência irá dividi-lo em seis arcos de mesma medida, como o hexágono é regular os arcos formados irão medir 60° (360°: 6 = 60°). Cada lado irá formar com o centro um ângulo central que terá a mesma medida do arco, 60°.



Assim, podemos dizer que cada arco da circunferência irá formar com seu ângulo central seis triângulos eqüiláteros (triângulos com lados iguais) no hexágono regular.



Podemos dizer que a área de um hexágono regular será igual à soma das seis áreas dos triângulos eqüiláteros.


Calculando a área de um dos triângulos teremos:



A área de um triângulo é calculada utilizando a fórmula , portanto, temos que encontrar a altura.

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

a² = h² + a²
4

a² – a² = h²
4

4a² – a² = h²
4

3a² = h²
4

a√3 = h
2

Agora, substituindo o valor da base do triângulo, que é a, e o valor da altura.

Portanto, dizemos que a área do triângulo eqüilátero é:

A∆ = a . a√3
2
2

A∆ = a² √3 . 1
2 2

A∆ = a² √3
4

A área do hexágono regular será igual a 6 vezes a área do triângulo eqüilátero.

A = 6 . a² √3
4

A = 3 a² √3

2

8.Área do retângulo.Retângulo

Existem dois tipos de retângulos: com lados todos iguais (quadrado) e com os lados diferentes.



No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:


Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.



O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4
A = 24 cm²

Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:



A = b . h


Quadrado

É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:


Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .

9.Área do setro circular.

Medindo a área do arco de um círculo

A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r é a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas partes, as quais recebem o nome de arcos (partes de um círculo). Os arcos de uma região circular são determinados de acordo com a medida do ângulo central, e é com base nessa informação que calcularemos a área de um segmento circular.

Uma volta completa no círculo corresponde a 360º, valor que podemos associar à expressão do cálculo da área do círculo, π * r². Partindo dessa associação podemos determinar a área de qualquer arco com a medida do raio e do ângulo central, através de uma simples regra de três. Observe:

360º ------------- π * r²
θº ------------------ x

onde:
π = 3,14
r = raio do círculo
θº = medida do ângulo central
x = área do arco

Exemplo 1

Determine a área de um segmento circular com ângulo central de 32º e raio medindo 2 m.
Resolução:

360º ------------- π * r²
32º ------------------ x

360x = 32 * π * r²
x = 32 * π * r² / 360
x = 32 * 3,14 * 2² / 360
x = 32 * 3,14 * 4 / 360
x = 401,92 / 360
x = 1,12

A área do segmento circular possui aproximadamente 1,12 m².



Exemplo 2

Qual a área de um setor circular com ângulo central medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 metros.

360º ------------- π * r²
120º ------------------ x


360x = 120 * π * r²
x = 120 * π * r² / 360
x = 120 * 3,14 * 12² / 360
x = 120 * 3,14 * 144 / 360
x = 54259,2 / 360
x = 150,7

A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,7 m².

10.Área do triângulo.

Nos estudos relacionados à Geometria, o triângulo é considerado uma das figuras mais importantes em razão da sua imensa utilidade no cotidiano. Com o auxílio de um retângulo e suas propriedades, demonstraremos como calcular a área de um triângulo.

No retângulo a seguir foi traçada uma de suas diagonais, dividindo a figura em duas partes iguais.

Note que a área total do retângulo é dada pela expressão A = b x h, considerando que a diagonal dividiu o retângulo em duas partes iguais formando dois triângulos, a área de cada triângulo será igual à metade da área total do retângulo, constituindo na seguinte expressão matemática:

A utilização dessa expressão necessita da altura do triângulo, sendo identificada como uma reta perpendicular à base, isto é, forma com a base um ângulo de 90º.

Exemplo 1

Observe o triângulo equilátero (possui os lados com medidas iguais). Vamos calcular a sua área:

Como o valor da altura não está indicado, devemos calculá-lo, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no seguinte triângulo retângulo:



4² = h² + 2²
16 = h² + 4
16 – 4 = h²
12 = h²
h = √12
h = 2√3 cm

Calculado o valor da altura, basta utilizar a fórmula demonstrada para obter a área da região triangular.

Portanto, a área do triângulo equilátero que possui os lados medindo 4cm é de 4√3cm².

11.Área do Perímetro.O que é perímetro? E como o calculamos?

Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.

Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.



Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:
P = 100 + 70 + 100 + 70
P = 340 m

O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida.




Por exemplo:



O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:

P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3

P = 18 + 4 + 9 + 5

P = 22 + 14

P = 36

A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro...

Área

Área é a medida de uma superfície.

A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).

Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:



Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.

A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros.

Se tivermos uma figura do tipo:


Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

12.Perímetro do círculo.

O perímetro de uma figura é calculado através da soma dos comprimentos de todos os lados. Portanto, não temos uma expressão definida para o cálculo do perímetro de figuras. Mas na circunferência, a maneira de calcular o perímetro é diferente, pois as regiões circulares não são formadas por segmentos de retas. O comprimento da circunferência é dado em função do raio, isto de forma proporcional, quanto maior o raio maior o comprimento da circunferência.

Para determinarmos o comprimento da circunferência ou seu perímetro, utilizamos uma expressão única, sempre dependendo do tamanho do raio, observe:

C = 2 * π * r, onde:

C = raio da circunferência (medida do centro à extremidade)
π = 3,14 (aproximadamente)
r = raio


Exemplo 1

Determine quantos metros, aproximadamente, uma pessoa percorrerá se der 8 voltas completas em torno de um canteiro circular de 2 m de raio.

Resolução:
Calcular quantos metros essa pessoa percorre em uma volta e depois multiplicar por 8.

C = 2 * π * r
C = 2 * 3,14 * 2
C = 12,56

Comprimento do percurso
C = 12,56 * 8
C = 100,48 metros

Exemplo 2

O pneu de um veículo, com 400 mm de raio, ao dar uma volta completa, percorre quantos metros aproximadamente?

Resolução:

Precisamos transformar 400 mm em metros, para isso basta dividirmos 400 por 1000, resultando em 0,4m. Agora basta aplicarmos a expressão do comprimento de uma circunferência.

C = 2 * π * r
C = 2 * 3,14 * 0,4
C = 2,512 metros

O pneu percorre aproximadamente 2,5 metros.

Exemplo 3

Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 600 km sobre uma pista circular de raio 100 m. Qual o número aproximado de voltas que ele dará?

Resolução:

Calcular o comprimento da pista
C = 2 * π * r
C = 2 * 3,14 * 100
C = 628 metros

Convertendo 500 km em metros
Como 1 km possui 1000 metros, então 600 * 1000 = 600 000 metros

Calculando o número aproximado de voltas
Basta dividir o percurso pelo comprimento da pista:
600 000 : 628 = 955 (aproximadamente)

Portanto, o ciclista deverá dar aproximadamente 955 voltas.