quarta-feira, 25 de novembro de 2009

notações cientificas, procentagens,fatorção,produtos notaveis

Porcentagem

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
Produtos Notáveis

Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.

(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac


Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.

Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.

1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

( a + b ).( a – b ) = a² - b²

2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

( a + b )² = a² + 2ab +b²

3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

( a – b )² = a² - 2ab + b²

Existem muitas outras outras fórmulas:

( a + b ) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³

(a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³






Não freqüentemente usadas:








Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:

(lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:

Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, , à razão tal que

Indica-se por



Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:
A razão centesimal é :
Portanto,

b) 25% de 200:

Portanto,

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?


5x = 300
x= 60

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?


20x = 1000
x = 50

A taxa é de 50%

Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que ,talvez, tenham dúvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora?

Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500?

Digitem: 500
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 20
Aperte a tecla de porcentagem: %

O resultado, como pode ser visto, é 100.



Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares.

Exercícios resolvidos:

1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

O desconto será:

Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200.

Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco:
O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%)
Logo,

2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

O acréscimo será de:

Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200

Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:



3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?



2000x = 10000
x = 5

Portanto, 5%.

4) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

Vamos por etapas:
O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.



Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:



Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00.

Fatoração

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Existem vários casos de fatoração como:

1) Fator Comum em evidência

Quando os termos apresentam fatores comuns

Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.

Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada

Exs : Fatore:

a) bx + by - bz = b.(x+y-z)

b)

c)

d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

e)

2) Fatoração por agrupamento

Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:


(x+y).(a+b)

Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exs: Fatore:

a)
x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma
comum comum fatorada

b) é fator é fator (2+a) é fator comum Forma
comum comum fatorada



3) Fatoração por diferença de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado

Assim:

Exs: Fatore:

a)

b)

c)
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes

4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios () e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.



Assim:

| |

| |
2x 3y
|__________|
|
2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de

Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
= » forma fatorada
|_______________|
Sinal

Logo: = » forma fatorada
|_______________|
Sinal


Exs:

a)

b)

*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:

a)

b)

Outros casos de fatoração:

1)

2)

3)

Notação Científica


Os números reais podem ser representados de inúmeras formas, de acordo com o que se esteja trabalhando, observe:

4 = 8/2 = 4*2 = (–2)*(–2)

3 = 9/3 = 1*3 = (–1)*(–3)

10 = 20/2 = 2*5 = (–2)*(–5)

Nas situações acima, podemos decidir de que forma iremos representar as quantidades. Mas existem alguns casos nos quais é mais conveniente mostrar os números na forma de notação científica, que serve para representar números muitos pequenos ou muito grandes.

Por exemplo:

O coração humano bate cerca de 110 000 000 de vezes em três anos.

No universo, existem cerca de 10 000 000 000 000 000 000 000 de estrelas.

Os números do exemplo acima podem ser escritos na forma de notação científica. Essa forma de representação utiliza números entre 1 e 10, com 1 ≤ x < 10, multiplicado por potências de 10 com expoentes inteiros.

No caso do número 110 000 000, podemos representá-lo da seguinte forma 1,1 x 108, pois 108 = 100 000 000.

Transformando

Números grandes

5 000 000 → 5, 000 000
Note que a vírgula andou 6 casas para a esquerda, então esse número expresso por notação científica fica: 5 x 106.

Números pequenos

0, 000 000 0021 → 2,1
A vírgula avançou 9 casa para a direita, então esse número será expresso pela notação científica: 2,1 x 10–9.

Obs.:
Número grande: o expoente aumenta.
Número pequeno: o expoente diminui.

Veja mais alguns exemplos de números na forma de notação científica:

a) 120 000 000 000 000 000 000 = 1,2 x 1020
b) 0, 000 000 098 = 9,8 x 10–8
c) 512 000 000 000 = 5,12 x 1011
d) 0, 000 000 000 000 000 000 000 023 = 2,3 x 10–23

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