Conjuntos de numeros

E o que é um conjunto?

Mas, bah!! A concepção de conjuntos nem precisa ser dita, o próprio nome já diz tudo.
Ex. Pega um grupo de cadeiras e junta sobre um círculo feito no chão. Pronto, temos um conjunto de cadeiras.

Mas como o nosso negócio é matemática, o que nos interessa é números.

Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:



Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.

Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.


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Vamos começar nos primórdios da matemática.

- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?

- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.

Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra .
Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:



Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:




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Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas.

Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra .


O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.

Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim).

Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.



Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS.

Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:



Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO.

Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.

Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:



Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo.

Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com:



Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início.

E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):



Uma propriedade interessante dos números inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que podemos representar em um gráfico) é a de ter em seu interior todos os números naturais. Veja o gráfico abaixo:




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Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar "partes" de alguma coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os número ditos fracionários junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS (), que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros.

Alguns exemplos de números racionais são mostrados abaixo:



Ou seja, números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros.

- Ué, o que que o 6 e o 2,3 estão fazendo ali em cima, se eles não têm o sinal de fração?
- Ora, o 6 pode ser representado pela fração ou até mesmo , e o 2,3 pode ser , portanto, se um número tem a possibilidade de ser escrito em fração de números inteiros, é considerado racional.

- Então me parece que todos os números com vírgula serão racionais??
- Não. Somente os que possuírem finitos algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos algarismos após a vírgula mas são números racionais. Veja os exemplos abaixo.
3,14159265...
Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)
2,252
Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...
Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

Com isso podemos concluir que o conjunto dos números RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos no exemplo anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração, por exemplo 10 pode ser ) e mais alguns.

Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:



Note que até agora o conjunto dos números racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo!
Obs.1: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais.
Obs.2: O zero É um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:


= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

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Se formos um pouco mais além na história, vamos chegar ao famoso teorema de Pitágoras.
- Ué, não estamos estudando conjuntos?
- Sim, calma lá, é só para explicar.
Pense comigo:
Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale .
- E quanto é?
- Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por .
As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.

Por exemplo:

=> Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são chamados de números irracionais.

=> Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.
=> Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.
- Ah, entendi! Então o conjunto dos irracionais é formado só pelas raízes quadradas não exatas?

- Não, todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

Para o Vestibular esses são os irracionais mais importantes!
Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa.

Por isso que, ao representarmos nos balões, devemos separá-los. Veja a figura abaixo:


Estes números foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS"

Ou seja, o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:



Note que na parte pintada, não há nenhum número.

Pois, se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.


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Durante muito tempo foi só isso que precisamos, conseguíamos fazer todos os cálculos necessários com apenas estes números.

Mas o tempo foi passando e novas necessidades foram surgindo, veja a história a seguir.
Com um grande salto no tempo, chegamos na casa de nosso querido amigo Caju!
Estava ele brincando com números em sua casa, quando houve o seguinte diálogo...

Caju - Mãe, mãe. Olha só que legal, eu sei que é 5, porque 5 ao quadrado é 25.
Mãe - Oh! Meu filhão, muito bem!
Caju - Também sei que é 9, pois 9 ao quadrado é 81.
Mãe - Ah, filhinho, que bonitinho! Mas me diz uma coisa, quanto é ?
Caju - Ora mãe, isso é fácil, é –5 !
Mãe - Então me prova.
Caju - Olha mãe, (–5) ao quadrado dá... dá...... ops, dá +25...
Pois é galera, qualquer número negativo elevado ao quadrado resulta um valor positivo, então como fazer para calcular a raiz quadrada de um número negativo?
A partir daí firmou-se um mistério na Matemática: quanto vale esta droga de raiz?
O tempo passou, e para solucionar o caso, convencionou-se que , onde i é chamado de unidade imaginária.

Então este mistério foi solucionado
Ex.:
^-- Aqui foram usadas as propriedades de radiciação.
E com isso formou-se o conjunto dos números IMAGINÁRIOS, representado pela letra , que é composto por todas as raízes de números negativas.
Novamente temos uma divisão, ou o número é Real ou não é Real. Por isso devemos colocar o balão dos imaginários separado dos números Reais. Veja o desenho:


Agora, neste caso temos uma dúvida. Se somarmos um número Real com um número imaginário, como por exemplo:
2+3i
Em que balão ele vai se encontrar?
Não pode ser real, e também não pode ser imaginário.
Para solucionar este caso, convencionou-se que o conjunto dos Reais junto com o conjunto dos Imaginários, é chamado de Conjunto dos números COMPLEXOS, que é representado por C.
Note que o conjunto dos números complexos é o conjunto de TODOS os números que conhecemos até hoje! Preste bem atenção, eu disse TODOS os números conhecidos até hoje! Veja o gráfico abaixo:

E com estes números a sociedade vive "muito bem, obrigado" até hoje. Quem sabe, com a evolução da matemática, novas necessidades poderão surgir e novos números aparecerão. Esperaremos ansiosos!! Falow!!

Exercícios:
Diga a qual conjunto pertence os números:a) Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO

b) Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO.

c) Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO

d) Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO

e) Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.

f) Número multiplicado por unidade imaginária, IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.

g) Número real somado com um imaginário, COMPLEXO.